开《压轴题》找到昨天那道题,他瞬间有了思路。
第一小题:由题中易知F的坐标为(a,0),故|FA|=4所以,该圆的方程为(x-a-4)2+y2=16。因此要证明点A在以M、N为焦点的椭圆上只需证明|AM|+|AN|=定值且|MN|<|AM|+|AN|即可根据椭圆的定义得出证明。
而要证明以M、N为焦点的椭圆过点F只需证明|FM|+|FN|=定值且|MN|<|FM|+|FN|,而|FM|,|FN|是抛物线的两个过焦点的弦因而根据抛物线的定义可得:|FM|=x1+a,|FN|=x2+a所以|FM|+|FN|=x1+x2+2a所以需要联立方程!
有了思路之后王庭柏直接拿笔开写:
因为该抛物线的焦点F的坐标为(a,0),故
所以该圆的方程为(x-a-4)
它与y2=4ax在x轴的上方交于M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>0,y2>0,x1>0,x2>0)
把y2=4ax代入到(x-a-4)
简化可得:
△=(2a-8)2-4(a2+8a)>0,①
x1+x2=8-2a>0,②
x1*x2=a2+8a>0,③
由①②③得0<a<1又由抛物线定义可得:|FM|=x1+a,
所以
而|MN|<
又点F,M,N均在圆上
所以,
所以
因为|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8,|MN|<
所以,点A在以M、N为焦点,且过点F的椭圆上!
昨天杀死他一大堆脑细胞的题今天分分钟拿捏!
势如破竹的杀向第二题。
第二题相对来说更抽象,王庭柏皱着眉头思考了一会。
设存在满足条件的实数
则有2|FP|=|FM|+|FN|=8?|FP|=4设点P的坐标为(x,y)
则有x=(x1+x2)/2=(4-a)
y=(y1+y2)/2=√a(√x1+√x2)
有|PF|=4得a(√x1+√x2)
8a-2a2=2a*√(a2+8a)?a=0或
这与0<a<1矛盾
所以满足条件的正实数a不存在。
王庭柏长舒一口气,感觉自己的证明完美无缺。
迫不及待的翻开《压轴题》后面的答案,证明思路基本一致,结论完全正确,这说明这题他解出来了。
隔了一天的难题做出来了很有成就感,王庭柏再一次感受到了读书的快乐。
他伸了个懒腰,此时正好听见敲门声。
打开手机屏幕看了眼时间,下午一点。
算了算时间。
应该是林雪宁到了。
王庭柏推开自己的房门,只见林雪宁上身穿着奶油色衬衣背着个黑白的双肩包,下身搭配棕色阔腿裤,把脚踝露了一点出来。
奶油色的衬衣穿起来显的她格外温柔,本就白皙的皮肤在衣服映衬的更加晶莹剔透。
“宁宁啊,来找庭庭玩吗?快进来,那小子说他在房间里学习,到底在干啥呢我也不知道。”朱玉波一看见林雪宁就眉开眼笑。
“朱姨,我和庭庭约好了下午一起学习,我给他带了份卷子来。”
“那感情好,阿姨给你们拿点水果,诺,他也出来了。阿姨就不打扰你们俩了。”
朱玉波指了指打开房门的王庭柏,然后哼着歌去切水果了。
林雪宁走向王庭柏。
举了举背着的双肩包。
“昨天问完问题就不理我了,去干什么了?”
然后对着他皱了皱可爱的眉头,嘴巴嘟了一小下,单手做了个敲打的姿势轻轻落在他的肩膀上。
王庭柏自知理亏,讪讪的回复道:“真是搞学习太投入了,嘿嘿。”
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