件:过P可作抛物线y2=4x的两条切线,两切点连线Lp与PO垂直,设直线Lp与PO,x轴的交点分别为Q,R。求证R是一个顶点并求出PQ/QR的最小值。
第二题是一道数列题,数列{an}满足a1=π/6,a(n+1)=arctan(secan)(n∈N*)求正整数m,使得一个式子成立。第三题则是一道纯粹的代数题,确定所有的复数α,使得对任意复数z1,z2,均可以使一个式子成立。
王庭柏眉头一皱,感觉事情不简单。
“怎么会呢?一定是有陷阱!数学竞赛的题怎么会这么简单呢?”
王庭柏停顿许久,依旧没看出有什么陷阱。
只好在草稿纸上先写下三道题的证明过程以及答案。
检查了好几遍,确认无误后,王庭柏心想着一试确实挺简单。
这才将草稿纸上的答案抄入自己的答题卡上。
将答题卡填满后,王庭柏长舒一口气。
看了看周围的考生,左边的一位小姐姐眉头紧锁,貌似还在写填空题。
右边的一位老哥也呆呆的停在第一道解答题上,无从落笔。
偷偷看了一眼后排,倒是有几人神色轻松,还在奋笔疾书。
前排的监考老师也注意到王庭柏东张西望的样子,神色严肃的来到他桌前轻敲桌面。
“这位同学,不要东张西望,好好答题。”
“老师,我问一下一试卷子都做完了,能不能提前做二试的?”王庭柏弱弱的问了一句。
监考老师有点惊讶的看着眼前的王庭柏,本以为这个长相阳光有点小帅的男生只是来混的,毕竟他的长相很没有数学的气息,没想到竟是枚学霸。
“当然不行!”监考老师看了眼自己的手表,“现在才9点不到,二试要9点40才开始。你再好好检查一下,不要打扰其他同学答题。”
王庭柏闭上了嘴,对监考老师打了个“OK”的手势。
百无聊赖的王庭柏只好把做过题换了一种方法再解了一遍。
就在王庭柏用另一种方法解出最后一题答案时,二试也开始了!
二试考试时间为9:40——12:30,170分钟,共180分,4道大题,考察平面几何、代数、数论、组合数学等知识。
前两题每题40分,后两题每题50分。
王庭柏先做理论上最简单的一题也就是第一题。
这道题看起来极其简单,甚至初中生都会产生我能行的感觉,只有算上条件和求证要求只有寥寥两句话和几个字符。
设a,b,c∈R,满足a+b+c=1,
求证
看起来真的特别简单,但是95%的高中生都做不出来。
刚才的监考老师看见了王庭柏皱眉的样子,心想:小伙子刚才一试也就是开胃菜,让你刚才这么嚣张,现在懵逼了吧?数学竞赛的精华还得是二试。
突然这位老师就见王庭柏神色舒张下来了,直接开始动笔。
只见王庭柏没有打草稿,十分自信的在答题卡上写起了证明过程。
若ab+bc+ac≤1/4,则命题已成立
直接开设就完事!
若ab+bc+ac1/4,设a=max{a,b,c},则a+b+c=1知a≥
根据以上条件,王庭柏就直接得出两个解题关键的式子
由于ab+bc+ac-1/0,将刚才得出的两个式子相乘得
(ab+bc+ac-1/4)2≤abc/4,即ab+bc+ac<0.5*√
证明成立!
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